Een vast onderdeel van Miljoenenjacht is het spel met de gouden bel. Een kandidaat in de zaal (de "beller") krijgt een gouden bel terwijl de andere kandidaat het kofferspel speelt (de "speler"). Als de speler een koffer gekozen heeft, mag de beller de gouden bel luiden. Deze beller krijgt dan het bedrag dat in de door de speler gekozen koffer zit. Hierbij zijn twee regels:
Intuïtief dacht ik altijd: hoe eerder je belt, des te groter de kans is op een grote prijs. Maar meten is weten. De vraag die ik me heb gesteld is dus de volgende: wat is de expected value (EV) van het Gouden Bel spel, op basis van welke koffer je kiest? Anders gezegd: als je dit spel ontelbaar keer zou spelen en elke keer bij dezelfde koffer belt, wat is dan je gemiddelde opbrengst per spel?
De berekening als je belt bij de eeste koffer is relatief eenvoudig: de gemiddelde opbrengst is namelijk de gemiddelde prijs die zich in de koffers bevindt.
(0.01 + 0.2 + 0.5 + 1 + 5 + 10 + 20 + 50 + 100 + 500 + 1000 + 2500 + 5000 + 10000 + 20000 + 30000 + 40000 + 50000 + 50000 + 50000 + 50000 + 50000 + 50000 + 50000 + 50000 + 50000) / 26 = 21507.181153846
Als je belt bij koffer 2 is de berekening een stapje ingewikkelder. De gemiddelde opbrengst is namelijk afhankelijk van het gemiddelde van de 25 overgebleven koffers, maar je weet vooraf niet welk bedrag in de geopende eerste koffer zat. Daarom moeten we uitgaan van 26 mogelijke situaties; elk van de 26 aanwezige bedragen kan namelijk geschrapt worden bij het openen van de eerste koffer. Als we het gemiddelde nemen van deze 26 gemiddelden, krijgen we de volgende som.
(22367.468 + 22367.4604 + 22367.4484 + 22367.4284 + 22367.2684 + 22367.0684 + 22366.6684 + 22365.4684 + 22363.4684 + 22347.4684 + 22327.4684 + 22267.4684 + 22167.4684 + 21967.4684 + 21567.4684 + 21167.4684 + 20767.4684 + 20367.4684 + 20367.4684 + 20367.4684 + 20367.4684 + 20367.4684 + 20367.4684 + 20367.4684 + 20367.4684 + 20367.4684) / 26 = 21507.181153846
Hoe langer we wachten met bellen, des te uitgebreider wordt de berekening. Hadden we bij koffer 2 nog 26 mogelijke situaties, bij koffer 3 is het aantal situaties al verhoogd tot 325. Van al deze situaties berkenen we de gemiddelde waarde van de koffer, vervolgens berekenen we het gemiddelde van al deze waarden om de EV te kunnen berekenen.
De eerste koffer kan 26 waarden bevatten en de tweede koffer kan nog maar 25 waarden bevatten (26x25), maar omdat de volgorde van de koffers niet uitmaakt voor de berekening zijn de combinaties [a,b] en [b,a] hetzelfde, dus kunnen we het totaal delen door 2.
(23299.4375 + 23299.425 + 23299.404166667 + 23299.2375 + 23299.029166667 + 23298.6125 + 23297.3625 + 23295.279166667 + 23278.6125 + 23257.779166667 + 23195.279166667 + 23091.1125 + 22882.779166667 + 22466.1125 + 22049.445833333 + 21632.779166667 + 21216.1125 + 21216.1125 + 21216.1125 + 21216.1125 + 21216.1125 + 21216.1125 + 21216.1125 + 21216.1125 + 21216.1125 + 23299.417083333 + 23299.39625 + 23299.229583333 + 23299.02125 + 23298.604583333 + 23297.354583333 + 23295.27125 + 23278.604583333 + 23257.77125 + 23195.27125 + 23091.104583333 + 22882.77125 + 22466.104583333 + 22049.437916667 + 21632.77125 + 21216.104583333 + 21216.104583333 + 21216.104583333 + 21216.104583333 + 21216.104583333 + 21216.104583333 + 21216.104583333 + 21216.104583333 + 21216.104583333 + 23299.38375 + 23299.217083333 + 23299.00875 + 23298.592083333 + 23297.342083333 + 23295.25875 + 23278.592083333 + 23257.75875 + 23195.25875 + 23091.092083333 + 22882.75875 + 22466.092083333 + 22049.425416667 + 21632.75875 + 21216.092083333 + 21216.092083333 + 21216.092083333 + 21216.092083333 + 21216.092083333 + 21216.092083333 + 21216.092083333 + 21216.092083333 + 21216.092083333 + 23299.19625 + 23298.987916667 + 23298.57125 + 23297.32125 + 23295.237916667 + 23278.57125 + 23257.737916667 + 23195.237916667 + 23091.07125 + 22882.737916667 + 22466.07125 + 22049.404583333 + 21632.737916667 + 21216.07125 + 21216.07125 + 21216.07125 + 21216.07125 + 21216.07125 + 21216.07125 + 21216.07125 + 21216.07125 + 21216.07125 + 23298.82125 + 23298.404583333 + 23297.154583333 + 23295.07125 + 23278.404583333 + 23257.57125 + 23195.07125 + 23090.904583333 + 22882.57125 + 22465.904583333 + 22049.237916667 + 21632.57125 + 21215.904583333 + 21215.904583333 + 21215.904583333 + 21215.904583333 + 21215.904583333 + 21215.904583333 + 21215.904583333 + 21215.904583333 + 21215.904583333 + 23298.19625 + 23296.94625 + 23294.862916667 + 23278.19625 + 23257.362916667 + 23194.862916667 + 23090.69625 + 22882.362916667 + 22465.69625 + 22049.029583333 + 21632.362916667 + 21215.69625 + 21215.69625 + 21215.69625 + 21215.69625 + 21215.69625 + 21215.69625 + 21215.69625 + 21215.69625 + 21215.69625 + 23296.529583333 + 23294.44625 + 23277.779583333 + 23256.94625 + 23194.44625 + 23090.279583333 + 22881.94625 + 22465.279583333 + 22048.612916667 + 21631.94625 + 21215.279583333 + 21215.279583333 + 21215.279583333 + 21215.279583333 + 21215.279583333 + 21215.279583333 + 21215.279583333 + 21215.279583333 + 21215.279583333 + 23293.19625 + 23276.529583333 + 23255.69625 + 23193.19625 + 23089.029583333 + 22880.69625 + 22464.029583333 + 22047.362916667 + 21630.69625 + 21214.029583333 + 21214.029583333 + 21214.029583333 + 21214.029583333 + 21214.029583333 + 21214.029583333 + 21214.029583333 + 21214.029583333 + 21214.029583333 + 23274.44625 + 23253.612916667 + 23191.112916667 + 23086.94625 + 22878.612916667 + 22461.94625 + 22045.279583333 + 21628.612916667 + 21211.94625 + 21211.94625 + 21211.94625 + 21211.94625 + 21211.94625 + 21211.94625 + 21211.94625 + 21211.94625 + 21211.94625 + 23236.94625 + 23174.44625 + 23070.279583333 + 22861.94625 + 22445.279583333 + 22028.612916667 + 21611.94625 + 21195.279583333 + 21195.279583333 + 21195.279583333 + 21195.279583333 + 21195.279583333 + 21195.279583333 + 21195.279583333 + 21195.279583333 + 21195.279583333 + 23153.612916667 + 23049.44625 + 22841.112916667 + 22424.44625 + 22007.779583333 + 21591.112916667 + 21174.44625 + 21174.44625 + 21174.44625 + 21174.44625 + 21174.44625 + 21174.44625 + 21174.44625 + 21174.44625 + 21174.44625 + 22986.94625 + 22778.612916667 + 22361.94625 + 21945.279583333 + 21528.612916667 + 21111.94625 + 21111.94625 + 21111.94625 + 21111.94625 + 21111.94625 + 21111.94625 + 21111.94625 + 21111.94625 + 21111.94625 + 22674.44625 + 22257.779583333 + 21841.112916667 + 21424.44625 + 21007.779583333 + 21007.779583333 + 21007.779583333 + 21007.779583333 + 21007.779583333 + 21007.779583333 + 21007.779583333 + 21007.779583333 + 21007.779583333 + 22049.44625 + 21632.779583333 + 21216.112916667 + 20799.44625 + 20799.44625 + 20799.44625 + 20799.44625 + 20799.44625 + 20799.44625 + 20799.44625 + 20799.44625 + 20799.44625 + 21216.112916667 + 20799.44625 + 20382.779583333 + 20382.779583333 + 20382.779583333 + 20382.779583333 + 20382.779583333 + 20382.779583333 + 20382.779583333 + 20382.779583333 + 20382.779583333 + 20382.779583333 + 19966.112916667 + 19966.112916667 + 19966.112916667 + 19966.112916667 + 19966.112916667 + 19966.112916667 + 19966.112916667 + 19966.112916667 + 19966.112916667 + 19549.44625 + 19549.44625 + 19549.44625 + 19549.44625 + 19549.44625 + 19549.44625 + 19549.44625 + 19549.44625 + 19549.44625 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333 + 19132.779583333) / 325 = 21507.181153846
Omdat de bijbehorende berekeningen alleen maar groter zullen worden, laat ik deze bij koffer 4 t/m 10 weg. Ter illustratie heb ik hem voor koffer 11 wel toegevoegd, deze berekening is 72MB groot...
| Koffer 4 | 21507.181153846 |
| Koffer 5 | 21507.181153846 |
| Koffer 6 | 21507.181153847 |
| Koffer 7 | 21507.181153795 |
| Koffer 8 | 21507.181153834 |
| Koffer 9 | 21507.181153825 |
| Koffer 10 | 21507.181153833 |
(...) / 5311735 = 21507.181152886
Verrassing! Het maakt niet uit of je de bel luidt bij koffer 1 of bij koffer 11, de expected value van de koffer is altijd € 21507,18. De verschillen in de uitkomst verder achter de komma worden veroorzaakt door afrondingsfouten in het systeem bij het verrekenen van grote (hoeveelheden) getallen.